整数変数と制約に関する演算と関数

qbpp::Expr は通常の式・整数変数・制約式を 統一的に表現する型 です.3 つとも同じ型で,持つメタデータが違うだけです.

Expr は 3 つの「顔」を持ちます:

• 通常の式 (多項式): x + 2*y*z などの算術式

• 整数変数: l <= qbpp::var_int("x") <= u などで作った Expr.範囲・ビット分解のメタデータを保持

• 制約式: e == 5 / lo <= e <= hi などで作った Expr.penalty + body のメタデータを保持

基本原則

• qbpp::Expr の演算・関数はすべて,どの「顔」の Expr にも適用できる

• 固有 accessor (min_val(), body 等) は対応する「顔」の Expr でのみ有効.合わない Expr で呼ぶと runtime abort（エラーメッセージ付き）

• 式を変更するメンバ関数 (+=, -=, *=, /=, sqr(), replace()) を呼ぶと,内部表現は通常の式に戻る（固有メタデータは破棄され,固有 accessor は以後呼べなくなる）

• 例外: simplify*() は固有メタデータを保ったまま,保持している式のみを簡約する.「顔」は維持される

• is_varint() / is_exprexpr() で現在の「顔」を実行時に確認できる

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1. 整数変数

このページの整数変数は,複数のバイナリ変数に展開されるものです. 整数値をそのまま保持するネイティブ整数変数（qbpp::IntVar）は qbpp::Expr とは別の型で,リファレンスは変数と式にあります. cons() の制約式には,どちらの整数変数も使えます.

生成

構文	戻り値
l <= qbpp::var_int("x") <= u	Expr (範囲 [l, u] の整数変数)
l <= qbpp::var_int("x", s1, s2, ...) <= u	整数変数の多次元配列 Array<Dim, Expr>

使える演算・関数

カテゴリ	例	戻り値	備考
単項	-vi	Expr
算術 (右辺 Expr)	vi + 1, vi * 2, vi - x	Expr
算術 (右辺 整数変数)	vi1 + vi2, vi1 * vi2	Expr
比較 (== int)	vi == 5	Expr (制約式)	制約生成
比較 (範囲)	2 <= vi <= 5	Expr (制約式)	between 制約
グローバル関数	qbpp::sqr(vi), qbpp::simplify(vi), qbpp::sqr(vi - 3)	Expr
整数変数固有メタ情報	vi.min_val(), vi.max_val()	energy_t	read-only
整数変数固有構造メンバ	vi.var_count(), vi.coeff(i), vi.get_var(i), vi[i]	各種	read-only
配列アクセス	vi.vars(), vi.coeffs()	Array<1, ...>	read-only
複合代入	vi += 1, vi -= 1, vi *= 2, vi /= 2	Expr&	以後は通常の式相当（固有メタは破棄）
二乗	vi.sqr()	Expr&	以後は通常の式相当
置換	vi.replace(ml)	Expr&	以後は通常の式相当
in-place 簡約	vi.simplify(), vi.simplify_as_binary(), vi.simplify_as_spin()	Expr&	保持式のみ簡約,整数変数のメタは保たれる
代入	vi = other	Expr&	同じ型

注意: vi += 1 等の式変更系を呼んだ後,静的な型は引き続き qbpp::Expr ですが内部状態は通常の式相当です.vi.min_val() 等の整数変数固有 accessor は runtime error になります.

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2. 制約式

生成

構文	戻り値	意味 (penalty / body)
f == n	Expr (制約式)	penalty = sqr(f - n), body = f
l <= f <= u	Expr (制約式)	penalty = (f-a)(f-(a+1)) (a は slack), body = f

ここで f は整数変数以外の式 (Var, Term, Expr, 整数変数 Expr).

使える演算・関数

カテゴリ	例	戻り値	備考
単項	-ee	Expr	penalty を反転
算術 (右辺 Expr)	ee + 1, ee * 2, ee + x	Expr
算術 (右辺 制約式)	ee1 + ee2, ee * ee	Expr	penalty 同士
グローバル関数	qbpp::sqr(ee), qbpp::simplify_as_binary(ee), qbpp::replace(ee, ml)	Expr	penalty に適用
body 取得	ee.body()	Expr	clone
解での評価	sol(ee) (penalty を評価), ee.body(sol) (body を評価)	energy_t	制約満足度の検証に使用
複合代入	ee += 1, ee -= 1, ee *= 2, ee /= 2	Expr&	以後は通常の式相当（body 参照不可に）
二乗	ee.sqr()	Expr&	以後は通常の式相当
置換	ee.replace(ml)	Expr&	以後は通常の式相当
in-place 簡約	ee.simplify(), ee.simplify_as_binary(), ee.simplify_as_spin()	Expr&	penalty と body を同時に簡約,制約式のまま
代入	ee = other	Expr&	同じ型

注意: ee += 1 等の式変更系を呼ぶと penalty のみが更新され body は参照できなくなります.一方 ee.simplify*() は penalty と body 両方に同じ rule を適用するため,制約式の整合性が保たれます.

Python との挙動の違い: Python では += 等の複合代入は silent rebind (新しい Expr に再束縛).一方 C++ は同じ object の内部状態が通常の式相当に変わります.詳細は Hi-QUBO (C++) と PyQBPP (Python) の違い を参照.

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3. ネイティブ制約 (cons)

比較や制約式を qbpp::cons() で囲むと,ネイティブ制約として宣言された式になります. 宣言された制約は制約として特別に処理され,バンドルされたソルバーは制約を満たすように効率よく探索します. 詳細はネイティブ制約を参照してください.

生成

構文	意味
qbpp::cons(f == n)	等式制約 f == n
qbpp::cons(f <= n)	片側制約
qbpp::cons(l <= f <= u)	両側の範囲制約
qbpp::cons(f == qbpp::equal{a, b, ...})	離散許容値集合（f が a, b, ... のいずれか）
qbpp::cons(arr == n) (配列の比較)	要素ごとに1本の制約
P * qbpp::cons(...)	重み P（正の整数）を付与
obj + qbpp::cons(...) + qbpp::cons(...)	+ で目的関数・他の制約と自由に結合

演算・関数

制約宣言を含む式 f に対して:

例	戻り値	説明
f.is_declared_cons()	bool	制約宣言を含むか
f(sol)	energy_t	ソルバーが報告する Energy と一致（目的関数＋ペナルティ）
f.cons(sol)	size_t	解 sol で違反している制約の本数（0 なら全充足）
f.cons()	表示用ビュー	std::cout << f.cons() で宣言済み制約リストを表示
f.violations(sol)	リスト	各制約の値・境界・違反量・重みを報告
f.is_feasible(sol)	bool	全制約を充足しているか
f.simplify_as_binary()	Expr&	目的関数と制約の両方を簡約,宣言は維持
qbpp::replace(f, ml)	Expr	変数置換,宣言は維持
qbpp::expand_cons(f) / f.expand_cons()	Expr / Expr&	従来のペナルティ式に展開（宣言は消える）
sqr(), 式同士の乗算, 0 以下のスカラー倍, 制約式を引く減算, reduce() 等	—	宣言を壊す演算は明示的に runtime error

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4. グローバル関数: 新しい Expr を返す

整数変数・制約式を引数に取れる主要なグローバル関数.いずれも引数を変更せず,新しい qbpp::Expr を返します:

関数	戻り値	説明
qbpp::sqr(x)	Expr	x * x
qbpp::simplify(x)	Expr	同類項マージ
qbpp::simplify_as_binary(x)	Expr	binary (0/1) ルールで簡約
qbpp::simplify_as_spin(x)	Expr	spin (±1) ルールで簡約
qbpp::replace(x, ml)	Expr	変数置換
qbpp::cons(x)	Expr (制約宣言)	ネイティブ制約として宣言
qbpp::expand_cons(x)	Expr	宣言された制約をペナルティ式に展開

引数 x は Var, Term, 任意の顔の Expr のいずれでも OK (内部では Expr として扱われる).

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5. 配列版

整数変数の配列および制約式の配列も同じ性質:

• 算術では各要素が Expr として扱われる → 結果は Array<Dim, Expr>

• in-place mutator (+=, *= 等) は使えるが,要素ごとに上記と同じく通常の式相当に戻る

// 整数変数の配列
auto x = 0 <= qbpp::var_int("x", 3) <= 7;     // Array<1, Expr> の整数変数配列
auto sum = qbpp::sum(x);                       // Expr (各要素を Expr として合計)

// 制約式の配列 (要素ごとの制約)
auto m = qbpp::var("m", 3, 4);                 // Array<2, Var>
auto rows = qbpp::vector_sum(m, 0);            // Array<1, Expr> (各行の和)
auto onehot = (rows == 1);                     // Array<1, Expr> の制約式
auto penalty = qbpp::sum(onehot);              // Expr (全制約の合計)

要素ごとの body アクセスは qbpp::Expr(arr[i]).body().

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関連ページ

• 整数変数 — 整数変数を使った方程式の解き方

• 比較演算子 — ==, <= <= の詳細

• ネイティブ制約 — qbpp::cons() の詳細な使い方とソルバーごとの意味論

• 置換関数 — replace() の使用例

pyqbpp.Expr は通常の式・整数変数・制約式を 統一的に表現する型 です.3 つとも同じ型で,持つメタデータが違うだけです.

Expr は 3 つの「顔」を持ちます:

• 通常の式 (多項式): x + 2*y*z などの算術式

• 整数変数: qbpp.var("x", between=(0, 10)) で作った Expr

• 制約式: qbpp.constrain(e, equal=5) などで作った Expr

基本原則

• pyqbpp.Expr の演算・関数はすべて,どの「顔」の Expr にも適用できる

• 固有 accessor (min_val, body 等) は対応する「顔」の Expr でのみ有効.合わない Expr で呼ぶと runtime abort

• 式を変更するメソッド (+=, -=, *=, /=, //=, sqr(), replace()) を呼ぶと,内部表現は通常の式に戻る（固有メタデータは破棄）

• 例外: simplify*() は固有メタデータを保ったまま簡約

• e.is_varint() / e.is_exprexpr() で現在の「顔」を実行時に確認できる

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1. 整数変数

このページの整数変数は,複数のバイナリ変数に展開されるものです. 整数値をそのまま保持するネイティブ整数変数（IntVar）は Expr とは別の型で,リファレンスは変数と式にあります. cons() の制約式には,どちらの整数変数も使えます.

生成

構文	戻り値
qbpp.var("x", between=(l, u))	Expr (範囲 [l, u] の整数変数)
qbpp.var("x", shape=N, between=(l, u))	整数変数 Expr 要素の配列
qbpp.var("x", shape=(s1, s2, ...), between=(l, u))	多次元の整数変数配列
qbpp.var("x", shape=N, equal=0)	placeholder の整数変数配列 (各要素を後から代入)

演算・関数

カテゴリ	例	戻り値	備考
単項	-vi	Expr
算術 (右辺 Expr 系)	vi + 1, vi * 2, vi - x	Expr
算術 (右辺 整数変数)	vi1 + vi2, vi1 * vi2	Expr
制約 (等値)	qbpp.constrain(vi, equal=5)	Expr (制約式)	制約生成
制約 (範囲)	qbpp.constrain(vi, between=(l, u))	Expr (制約式)	範囲制約
グローバル関数	qbpp.sqr(vi), qbpp.simplify(vi), qbpp.simplify_as_binary(vi)	Expr
整数変数固有メタ情報	vi.min_val, vi.max_val	各種	read-only
整数変数固有構造	vi.var_count, vi.coeff(i), vi.get_var(i), vi[i]	各種	read-only
配列プロパティ	vi.vars, vi.coeffs	list	read-only
Expr 取得	str(vi)	str
複合代入	vi += 1, vi -= 1, vi *= 2, vi //= 2, vi /= 2	(vi が通常の式相当に)	以後整数変数固有 accessor は使えなくなる
二乗	vi.sqr()	(vi が通常の式相当に)
置換	vi.replace(ml)	(vi が通常の式相当に)
in-place 簡約	vi.simplify(), vi.simplify_as_binary(), vi.simplify_as_spin()	Expr	保持式のみ簡約,整数変数のメタは保たれる
代入	vi = other	(再束縛)	Python の通常の代入

注意: vi += 1 等を呼んだ後,Python の型は引き続き Expr ですが内部状態は通常の式相当です.vi.min_val 等の整数変数固有 accessor は runtime error になります.

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2. 制約式

生成

構文	戻り値	意味 (penalty / body)
qbpp.constrain(f, equal=n)	Expr (制約式)	penalty = sqr(f - n), body = f
qbpp.constrain(f, between=(l, u))	Expr (制約式)	penalty = between, body = f
qbpp.constrain(f, between=(l, None))	Expr (制約式)	f >= l (無上限)
qbpp.constrain(f, between=(None, u))	Expr (制約式)	f <= u (無下限)

f は整数変数以外の式 (Var, Term, Expr, 整数変数 Expr),n, l, u は整数.

演算・関数

カテゴリ	例	戻り値	備考
単項	-ee	Expr	penalty を反転
算術 (右辺 Expr 系)	ee + 1, ee * 2, ee + x	Expr
算術 (右辺 制約式)	ee1 + ee2	Expr	penalty 同士
グローバル関数	qbpp.sqr(ee), qbpp.simplify_as_binary(ee), qbpp.replace(ee, ml)	Expr	penalty に適用
プロパティ	ee.body, str(ee)	Expr / str	clone
解での評価	sol(ee) (penalty を評価), sol(ee.body) (body を評価)	int	制約満足度の検証
複合代入	ee += 1, ee -= 1, ee *= 2, ee //= 2, ee /= 2	(ee が通常の式相当に)	body は参照不可に
二乗	ee.sqr()	(ee が通常の式相当に)
置換	ee.replace(ml)	(ee が通常の式相当に)
in-place 簡約	ee.simplify(), ee.simplify_as_binary(), ee.simplify_as_spin()	Expr	penalty と body を同時に簡約,制約式のまま
代入	ee = other	(再束縛)	Python の通常の代入

注意: ee += 1 等の式変更系を呼ぶと penalty のみが更新され body は参照できなくなります.ee.simplify*() は penalty と body 両方に同じ rule を適用するため,制約式の整合性が保たれます.

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3. ネイティブ制約 (cons)

制約を qbpp.cons() で作成すると,ネイティブ制約として宣言された式になります. 宣言された制約は制約として特別に処理され,バンドルされたソルバーは制約を満たすように効率よく探索します. 詳細はネイティブ制約を参照してください.

生成

構文	意味
qbpp.cons(f, equal=n)	等式制約 f == n
qbpp.cons(f, equal=[a, b, ...])	離散許容値集合（f が a, b, ... のいずれか）
qbpp.cons(f, between=(l, u))	範囲制約（片側は None で無制限）
qbpp.cons(制約式)	== で作った制約式をネイティブ制約として宣言
qbpp.cons(配列の比較)	要素ごとに1本の制約
P * qbpp.cons(...)	重み P（正の整数）を付与
obj + qbpp.cons(...) + qbpp.cons(...)	+ で目的関数・他の制約と自由に結合

演算・関数

制約宣言を含む式 f に対して:

例	戻り値	説明
f.is_declared_cons()	bool	制約宣言を含むか
sol(f)	int	ソルバーが報告する Energy と一致（目的関数＋ペナルティ）
f.cons(sol)	int	解 sol で違反している制約の本数（0 なら全充足）
f.cons()	str	宣言済み制約リストの文字列（print(f.cons()) で表示）
f.violations(sol)	list	各制約の値・境界・違反量・重みを報告
f.is_feasible(sol)	bool	全制約を充足しているか
f.simplify_as_binary()	Expr	目的関数と制約の両方を簡約,宣言は維持
qbpp.replace(f, ml)	Expr	変数置換,宣言は維持
qbpp.expand_cons(f) / f.expand_cons()	Expr	従来のペナルティ式に展開（宣言は消える）
sqr(), 式同士の乗算, 0 以下のスカラー倍, 制約式を引く減算, reduce() 等	—	宣言を壊す演算は明示的に runtime error

---

4. グローバル関数: 新しい Expr を返す

整数変数・制約式を引数に取れる主要なグローバル関数.いずれも引数を変更せず,新しい pyqbpp.Expr を返します:

関数	戻り値	説明
qbpp.sqr(x)	Expr	x * x
qbpp.simplify(x)	Expr	同類項マージ
qbpp.simplify_as_binary(x)	Expr	binary (0/1) ルールで簡約
qbpp.simplify_as_spin(x)	Expr	spin (±1) ルールで簡約
qbpp.replace(x, ml)	Expr	変数置換
qbpp.constrain(f, equal=n)	Expr (制約式)	等値制約
qbpp.constrain(f, between=(l, u))	Expr (制約式)	範囲制約
qbpp.cons(...)	Expr (制約宣言)	ネイティブ制約として宣言
qbpp.expand_cons(f)	Expr	宣言された制約をペナルティ式に展開

引数 x は Var, Term, 任意の顔の Expr のいずれでも OK (内部では Expr として扱われる).

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5. 配列版

整数変数・制約式の配列も同じ規則:

• 算術では各要素が Expr として扱われる → 結果は Expr 配列

• in-place mutator (+=, *= 等) も使えるが,要素ごとに上記と同じく通常の式相当に戻る

# 整数変数の配列
x = qbpp.var("x", shape=3, between=(0, 7))      # 整数変数 Expr の配列
sum_expr = qbpp.sum(x)                           # Expr
f = qbpp.sqr(sum_expr - 5)                       # Expr

# 制約式の配列 (要素ごとの制約)
m = qbpp.var("m", shape=(3, 4))                  # 2D Var 配列
rows = qbpp.vector_sum(m, axis=0)                # 各行の和 (Expr 配列)
onehot = qbpp.constrain(rows, equal=1)           # 制約式 Expr の配列
penalty = qbpp.sum(onehot)                       # Expr (全制約の合計)

要素ごとの body アクセスは arr[i].body.

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6. C++ 版との差異

C++ / Python とも += 等の式変更操作は許可されますが,その後の挙動が異なります:

• C++: 同じ object の内部状態が通常の式相当に変わる.固有 accessor 呼出は runtime error

• Python: 同じオブジェクトの中身が変わる.Python の object identity は保たれるが,固有 accessor は同じく runtime error

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関連ページ

• 整数変数と連立方程式の求解 — qbpp.var(..., between=...) と qbpp.constrain(...) を使った例

• 比較制約 — qbpp.constrain(f, equal=n) による制約生成

• ネイティブ制約 — qbpp.cons() の詳細な使い方とソルバーごとの意味論

• 置換関数 — qbpp.replace(...) の使用例