シフトスケジューリング問題¶

以下のシフトスケジューリング問題を考えます.この問題は,総労働者コストを最小化するスケジュールを見つけることを目的とします.

6人の労働者と,1日目から31日目までの31日間の計画期間があります.簡単のため,すべての労働者は0日目と32日目は休みであると仮定します.
1日目から31日目まで,各日にちょうど4人の労働者をスケジュールする必要があります.
各労働者について以下の制約を満たす必要があります：
- 20日間または21日間勤務する,
- 連続勤務は6日以内,
- 連続勤務は3日以上,
- 孤立した休日がない（休日は連続でなければならない）.

シフトスケジューリング問題のQUBO定式化

QUBO定式化では,\(6\times 33\) のバイナリ変数行列 \(X=(x_{i,j})\) (\(0\leq i\leq 5, 0\leq j\leq 32\)) を使用します.労働者 \(i\) が \(j\) 日目に勤務するのは \(x_{i,j}=1\) のときかつそのときに限ります.

すべての労働者は0日目と32日目は休みであるため,次を固定します：

\[ \begin{aligned} x_{i,0}=x_{i,32}=0 & &(0\leq i\leq 5). \end{aligned} \]

制約は以下のように定式化されます.

日次配置制約

各日にちょうど4人の労働者をスケジュールしなければなりません：

\[ \begin{aligned} \sum_{i=0}^{5} x_{i,j} = 4& &(1\leq j\leq 31) \end{aligned} \]

総勤務日数制約

各労働者は20日間または21日間勤務しなければなりません：

\[ \begin{aligned} 20\leq \sum_{j=0}^{32} x_{i,j} \leq 21& &(0\leq i\leq 5) \end{aligned} \]

最大連続勤務日数制約

どの労働者も7日以上連続で勤務してはなりません：

\[\begin{split} \begin{aligned} x_{i,j}x_{i,j+1}x_{i,j+2}x_{i,j+3}x_{i,j+4}x_{i,j+5}x_{i,j+6} = 0 & &(0\leq i\leq 5, 0\leq j\leq 26)\\ \end{aligned} \end{split}\]

最小連続勤務日数制約

各勤務期間は少なくとも3日連続の勤務日で構成されなければなりません：

\[\begin{split} \begin{aligned} \bar{x}_{i,j}x_{i,j+1}x_{i,j+2}\bar{x}_{i,j+3} = 0 & &(0\leq i\leq 5, 0\leq j\leq 29)\\ \bar{x}_{i,j}x_{i,j+1}\bar{x}_{i,j+2} = 0 & & (0\leq i\leq 5, 0\leq j \leq 30) \end{aligned} \end{split}\]

孤立休日禁止制約

どの労働者も2つの勤務日の間に1日だけの休日を持ってはなりません：

\[\begin{split} \begin{aligned} x_{i,j}\bar{x}_{i,j+1}x_{i,j+2} = 0 & &(0\leq i\leq 5, 0\leq j\leq 30)\\ \end{aligned} \end{split}\]

総労働者コスト

\(C=(c_i)\) をコストベクトルとし,\(c_i\) は労働者 \(i\) を配置する1日あたりのコストを表します. 総労働者コストは次のように定式化されます：

\[ \begin{aligned} \sum_{i=0}^5\sum_{j=0}^{32} c_i x_{i,j} \end{aligned} \]

この目的関数を上記の制約のもとで最小化します.

シフトスケジューリングのHi-QUBOプログラム

上で定義したシフトスケジューリング問題は,Hi-QUBOを用いて以下のように定式化・求解できます：

shift-scheduling-program1.cpp¶

#include <qbpp/qbpp.hpp>
#include <qbpp/easy_solver.hpp>

int main() {
  const size_t days = 31;
  const auto worker_cost = qbpp::array({13, 13, 12, 12, 11, 10});
  const size_t workers = worker_cost.size();

  auto x = qbpp::var("x", workers, days + 2);

  auto workers_each_day = qbpp::vector_sum(x, 0);
  auto each_day_4_workers = qbpp::toExpr(0);
  for (size_t j = 1; j <= days; ++j) {
    each_day_4_workers += workers_each_day[j] == 4;
  }

  auto workers_working_days = qbpp::vector_sum(x);
  auto work_20_21_days = qbpp::sum(20 <= workers_working_days <= 21);

  auto no_more_than_6_consecutive_working_days = qbpp::toExpr(0);
  for (size_t w = 0; w < workers; ++w) {
    for (size_t j = 0; j <= days - 5; ++j) {
      no_more_than_6_consecutive_working_days +=
          x[w][j] * x[w][j + 1] * x[w][j + 2] * x[w][j + 3] * x[w][j + 4] *
          x[w][j + 5] * x[w][j + 6];
    }
  }
  auto no_less_than_3_consecutive_working_days = qbpp::toExpr(0);
  for (size_t w = 0; w < workers; ++w) {
    for (size_t j = 0; j < days - 1; ++j) {
      no_less_than_3_consecutive_working_days +=
          ~x[w][j] * x[w][j + 1] * x[w][j + 2] * ~x[w][j + 3];
    }
    for (size_t j = 0; j < days; ++j) {
      no_less_than_3_consecutive_working_days +=
          ~x[w][j] * x[w][j + 1] * ~x[w][j + 2];
    }
  }

  auto no_single_day_off = qbpp::toExpr(0);
  for (size_t w = 0; w < workers; ++w) {
    for (size_t j = 0; j <= days - 1; ++j) {
      no_single_day_off += x[w][j] * ~x[w][j + 1] * x[w][j + 2];
    }
  }

  auto total_worker_cost = qbpp::sum(worker_cost * workers_working_days);

  auto constraints = work_20_21_days + no_less_than_3_consecutive_working_days +
                     no_more_than_6_consecutive_working_days +
                     no_single_day_off + each_day_4_workers;
  auto f = total_worker_cost + 10000 * constraints;

  qbpp::MapList ml;
  for (size_t i = 0; i < workers; ++i) {
    ml.push_back({x[i][0], 0});
    ml.push_back({~x[i][0], 1});
    ml.push_back({x[i][days + 1], 0});
    ml.push_back({~x[i][days + 1], 1});
  }
  f.simplify_as_binary();

  auto g = qbpp::replace(f, ml);
  g.simplify_as_binary();
  workers_working_days.replace(ml);

  auto solver = qbpp::EasySolver(g);
  auto sol = solver.search({{"time_limit", 5.0}, {"target_energy", 0}});
  for (size_t i = 0; i < workers; ++i) {
    std::cout << "Worker " << i << ": " << sol(workers_working_days[i])
              << " days worked: ";
    for (size_t j = 1; j <= days; ++j) {
      std::cout << sol(x[i][j]);
    }
    std::cout << std::endl;
  }
  std::cout << "Workers each day        : ";
  for (size_t d = 1; d <= days; ++d) {
    std::cout << sol(workers_each_day[d]);
  }
  std::cout << std::endl;

  auto sol_f = qbpp::Sol(f).set(ml).set(sol);

  std::cout << "Total worker cost: " << sol_f(total_worker_cost) << std::endl;
  std::cout << "Constraints violations: " << sol_f(constraints) << std::endl;
}

このプログラムでは,変数と式は以下のように定義されています：

x: \(6\times 33\) のバイナリ変数行列.
workers_each_day: x の列方向の和を含む配列で,各日に配置された労働者数を表します.
each_day_4_workers: 各日にちょうど4人の労働者が配置されているときかつそのときに限り最小値0をとる制約式.
workers_working_days: x の行方向の和の配列で,各労働者の総勤務日数を表します.
work_20_21_days: 各労働者が20日間または21日間勤務しているときかつそのときに限り最小値0をとる制約式.
no_more_than_6_consecutive_working_days: どの労働者も7日以上連続で勤務していないときかつそのときに限り最小値0をとる制約式.
no_less_than_3_consecutive_working_days: すべての勤務期間が少なくとも3日連続の勤務日で構成されているときかつそのときに限り最小値0をとる制約式.
no_single_day_off: どの労働者も2つの勤務日の間に1日だけの休日を持っていないときかつそのときに限り最小値0をとる制約式.
constraints: すべての制約式の和.
total_worker_cost: 総労働者コストを表す式.

QUBO構築と求解

total_worker_cost と constraints をペナルティ係数10000で加算することにより,シフトスケジューリング問題のQUBO定式化を表す式 f を得ます.

qbpp::MapList オブジェクト ml は,0日目と32日目に対応する変数の値を固定するために使用されます. qbpp::replace() 関数を f に ml を適用することで,新しい式 g が得られます.

次に,Easy Solver が g に適用され,得られた解が sol に格納されます. 得られた解は以下のとおりです：

Worker 0: 20 days worked: 0001111001110011111001111001111
Worker 1: 20 days worked: 1111001111110001111110011110000
Worker 2: 21 days worked: 0000111100111110011111100111111
Worker 3: 21 days worked: 1111110011111100111000111111000
Worker 4: 21 days worked: 1111100111001111000111000111111
Worker 5: 21 days worked: 1110011110001111100111111000111
Workers each day        : 4444444444444444444444444444444
Total worker cost: 1465
Constraints violations: 0

総労働者コスト 1465 の実行可能なシフトスケジュールが得られ,すべての制約が満たされていることがわかります.

以下のシフトスケジューリング問題を考えます.この問題は,総労働者コストを最小化するスケジュールを求めることを目的とします.

6人の労働者がおり,計画期間は1日目から31日目までの31日間です. 簡単のため,すべての労働者は0日目と32日目は休みとします.
1日目から31日目までの各日に,ちょうど4人の労働者を配置する必要があります.
各労働者について以下の制約を満たす必要があります：
- 20日または21日勤務する,
- 連続勤務日数は6日以下,
- 連続勤務日数は3日以上,
- 孤立した休日がない（休日は連続でなければならない）.