整数線形計画法（ILP）¶

**整数線形計画法（ILP）**は,Hi-QUBOを用いてQUBO式に変換できます. 例として,以下のILPを考えます:

\[\begin{split} \begin{aligned} \text{Maximize:} && 2x_0 +5x_1+5x_2\\ \text{Subject to:} && x_0 + 3 x_1 + x_2 &\leq 12 \\ && x_0 + 2x_2 &\leq 5\\ && x_1 + x_2 &\leq 4; \end{aligned} \end{split}\]

Hi-QUBOプログラム

以下のHi-QUBOプログラムは,このILPをQUBO式として定式化し,Easy Solver を使って解きます:

integer-linear-programming-program1.cpp¶

#include <qbpp/qbpp.hpp>
#include <qbpp/easy_solver.hpp>

int main() {
  auto x = 0 <= qbpp::var_int("x", 3) <= 5;
  auto objective = 2 * x[0] + 5 * x[1] + 5 * x[2];
  auto c1 = 0 <= x[0] + 3 * x[1] + x[2] <= 12;
  auto c2 = 0 <= x[0] + 2 * x[2] <= 5;
  auto c3 = 0 <= x[1] + x[2] <= 4;

  auto f = -objective + 100 * (c1 + c2 + c3);
  f.simplify_as_binary();
  auto solver = qbpp::EasySolver(f);
  auto sol = solver.search({{"time_limit", 1.0}});
  std::cout << "x0 = " << sol(x[0]) << ", x1 = " << sol(x[1])
            << ", x2 = " << sol(x[2]) << std::endl;
  std::cout << "objective = " << sol(objective) << std::endl;
  std::cout << "c1.body(sol) = " << c1.body(sol)
            << ", c2.body(sol) = " << c2.body(sol)
            << ", c3.body(sol) = " << c3.body(sol) << std::endl;
}

このプログラムでは,x は3つの整数変数のベクトルであり,それぞれ \([0, 5]\) の範囲の整数値をとります. 目的関数と3つの制約は,それぞれ objective,c1,c2,c3 で表されます. これらはペナルティ定数 100 を用いて制約を強制する1つのQUBO式 f にまとめられます.

Easy Solver は f の低エネルギー解を探索し,sol として返します. 得られた解と objective,および各制約の body（c1.body(sol),c2.body(sol),c3.body(sol)）の値は以下のように出力されます:

x0 = 2, x1 = 3, x2 = 1
objective = 24
c1.body(sol) = 12, c2.body(sol) = 4, c3.body(sol) = 4

目的関数値24の解が得られ,すべての制約が満たされていることが確認できます.

整数線形計画法（ILP） は,PyQBPPを使用してQUBO式に変換できます. 例として,以下のILPを考えます:

\[\begin{split} \begin{aligned} \text{Maximize:} && 2x_0 +5x_1+5x_2\\ \text{Subject to:} && x_0 + 3 x_1 + x_2 &\leq 12 \\ && x_0 + 2x_2 &\leq 5\\ && x_1 + x_2 &\leq 4; \end{aligned} \end{split}\]

PyQBPPプログラム

以下のPyQBPPプログラムは,このILPをQUBO式として定式化し,Easy Solver を使って解きます:

integer-linear-programming-program1.py¶

import pyqbpp as qbpp

x = qbpp.var("x", shape=3, between=(0, 5))
objective = 2 * x[0] + 5 * x[1] + 5 * x[2]
c1 = (0 <= x[0] + 3 * x[1] + x[2]) & (qbpp.same <= 12)
c2 = (0 <= x[0] + 2 * x[2]) & (qbpp.same <= 5)
c3 = (0 <= x[1] + x[2]) & (qbpp.same <= 4)

f = -objective + 100 * (c1 + c2 + c3)
f.simplify_as_binary()
solver = qbpp.EasySolver(f)
sol = solver.search(time_limit=1.0)
print(f"x0 = {sol(x[0])}, x1 = {sol(x[1])}, x2 = {sol(x[2])}")
print(f"objective = {sol(objective)}")
print(f"c1 = {sol(c1.body)}, c2 = {sol(c2.body)}, c3 = {sol(c3.body)}")

Easy Solver は f の低エネルギー解を探索し,sol として返します. 得られた解と objective,c1.body,c2.body,c3.body の値は以下のように出力されます:

x0 = 2, x1 = 3, x2 = 1
objective = 24
c1 = 12, c2 = 4, c3 = 4

目的関数値24の解が得られ,すべての制約が満たされていることが確認できます.