最大公約数

最大公約数 (GCD) の計算は HUBO 問題として定式化できます。\(P\) と \(Q\) を2つの正の整数とします。 \(p\)、\(q\)、\(r\) を以下の制約を満たす正の整数とします:

\[\begin{split} pr &= P,\\ qr &= Q. \end{split}\]

明らかに、\(r\) は \(P\) と \(Q\) の公約数です。 したがって、これらの制約を満たす \(r\) の最大値が \(P\) と \(Q\) の最大公約数です。そのような \(r\) を求めるために、HUBO 定式化において \(-r\) を目的関数として使用します。

Hi-QUBO プログラム

上記の考え方に基づき、以下の Hi-QUBO プログラムは2つの整数 P = 858 と Q = 693 の最大公約数を計算します:

greatest-common-divisor-program.cpp

#include <qbpp/qbpp.hpp>
#include <qbpp/easy_solver.hpp>

int main() {
  const int P = 858;
  const int Q = 693;
  auto p = 1 <= qbpp::var_int("p") <= 1000;
  auto q = 1 <= qbpp::var_int("q") <= 1000;
  auto r = 1 <= qbpp::var_int("r") <= 1000;

  auto constraint = (p * r == Q) + (q * r == P);
  auto f = -r + constraint * 1000;

  f.simplify_as_binary();

  auto solver = qbpp::EasySolver(f);
  auto sol = solver.search({{"time_limit", 1.0}});

  std::cout << "GCD = " << sol(r) << std::endl;
  std::cout << sol(p) << " * " << sol(r) << " = " << P << std::endl;
  std::cout << sol(q) << " * " << sol(r) << " = " << Q << std::endl;
}

PyQBPP プログラム

上記の考え方に基づき、以下の PyQBPP プログラムは2つの整数 P = 858 と Q = 693 の最大公約数を計算します:

greatest-common-divisor-program.py

import pyqbpp as qbpp

P = 858
Q = 693
p = qbpp.var("p", between=(1, 1000))
q = qbpp.var("q", between=(1, 1000))
r = qbpp.var("r", between=(1, 1000))

constraint = (p * r == Q) + (q * r == P)
f = -r + constraint * 1000

f.simplify_as_binary()

solver = qbpp.EasySolver(f)
sol = solver.search(time_limit=1.0)

print(f"GCD = {sol(r)}")
print(f"{sol(p)} * {sol(r)} = {P}")
print(f"{sol(q)} * {sol(r)} = {Q}")

このプログラムでは、p、q、r は範囲 \([1, 1000]\) の整数変数として定義されています。 式 constraint は、両方の制約が満たされたときにゼロと評価されるように構築されています。

目的関数 -r はペナルティ係数 1000 を掛けた制約項と組み合わされ、結果の式は f に格納されます。

EasySolver は f を最小化する解を探索します。 得られた p、q、r の値は以下のように出力されます:

GCD = 33
26 * 33 = 858
21 * 33 = 693

この出力から、858 と 693 の GCD が 33 として正しく求められたことが確認できます。