# 非線形関数 :::{container} prog-cpp Hi-QUBO では，絶対値 `qbpp::abs()`・ReLU `qbpp::relu()`・ 最大値 `qbpp::max()`・最小値 `qbpp::min()` を式の中で直接使えます． これらの関数を含む式は，Hi-QUBO にバンドルされているソルバーが 関数値を直接扱って効率よく探索を行います． 補助変数やペナルティ多項式を手動で設計する必要はありません． [ネイティブ整数変数](../advanced/native-integer.md)と組み合わせて使うこともできます． ## 絶対値: abs `qbpp::abs(f)` は $|f|$，`qbpp::abs(f, 2)` は $|f|^2$ を表します （指数は 1 か 2）．次のプログラムは $|x + y - 13| + |x - y - 3|$ を最小化します: ```{literalinclude} /../programFiles/cppPrograms/advanced/basic-operators-and-functions-program1.cpp :language: cpp :caption: basic-operators-and-functions-program1.cpp ``` プログラムの出力は以下の通りです: ```{include} /../programFiles/markDown/advanced/basic-operators-and-functions.md :start-after: :end-before: ``` ## ReLU: relu `qbpp::relu(f)` は $\max(0, f)$，`qbpp::relu(f, 2)` は $\max(0, f)^2$ を表し，しきい値の**超過分だけ**にペナルティを かけたいときに便利です．次のプログラムは，利益 $4x + 7y$ を 最大化しつつ，作業量 $2x + 3y$ が 36 を超えた分に 2 乗ペナルティを かけ，さらに[ネイティブ制約](../basic/constraints.md) $x + y \le 12$ を 課しています: ```{literalinclude} /../programFiles/cppPrograms/advanced/basic-operators-and-functions-program2.cpp :language: cpp :caption: basic-operators-and-functions-program2.cpp ``` プログラムの出力は以下の通りです: ```{include} /../programFiles/markDown/advanced/basic-operators-and-functions.md :start-after: :end-before: ``` ## 最大値と最小値: max / min `qbpp::max(f, g)`・`qbpp::min(f, g)` は 2 つの式の最大値・最小値を 表します．次のプログラムは，4 個のジョブを 2 台のマシンに割り当て， 負荷の大きい方（メイクスパン）を最小化します: ```{literalinclude} /../programFiles/cppPrograms/advanced/basic-operators-and-functions-program3.cpp :language: cpp :caption: basic-operators-and-functions-program3.cpp ``` プログラムの出力は以下の通りです: ```{include} /../programFiles/markDown/advanced/basic-operators-and-functions.md :start-after: :end-before: ``` ## 対応と制限 - バンドルされているソルバー（[EasySolver](../solver/easy-solver-usage.md)・ [ABS3 Solver](../solver/abs3-solver-usage.md)・[Exhaustive Solver](../solver/exhaustive-solver-usage.md)）は `abs`・`relu`（指数 1, 2）・`max`・`min` のすべてに対応します． - [GurobiSolver](../solver/gurobi-solver-usage.md) と ScipSolver（Quadratic 方式）は `abs`・`relu`（指数 1, 2）に対応します．線形化方式の MIP ソルバー （SCIP Linearize・HiGHS・CBC・GLPK）は指数 1 のみ対応します． - `max`・`min` は relu の恒等式に展開されるため，MIP ソルバーでも 凸方向 — $w \cdot \max$ の最小化と min の最大化（最小化目的の中の $-w \cdot \min$）— は解けます．非凸方向は明示的なエラーになります． - 非線形関数の係数には任意の定数を使えます．負の係数は関数値を 最大化する向きに働きます（バンドルソルバー専用 — MIP ソルバーでは 正の係数のみ使えます）．また，非線形関数を含む式は `expand_cons()`・`reduce()` には対応していません． - 解 `sol` に対する式の値 `f(sol)` は，ソルバーが返すエネルギーと 常に一致します． ## cons() との関係 [ネイティブ制約](../basic/constraints.md)の `qbpp::cons()` も，値の上では非線形関数の 仲間です．等式制約の値は $$ \operatorname{cons}(f = k) = \operatorname{abs}(f - k,\, 2) $$ と同じで，範囲制約の値は $$ \operatorname{cons}(l \le f \le u) = \operatorname{relu}(l - f,\, 2) + \operatorname{relu}(f - u,\, 2) $$ と同じです（違反するのは高々片側なので，2 つの relu が同時に正になる ことはありません）． 違いは意味論です．`cons()` は式を**制約として宣言**し，違反本数 （Viol）の集計や実行可能性・`target_energy` の判定に参加します． `abs()`・`relu()` は意味論を持たない純粋な目的関数の項で， 制約としては扱われません．「満たすべき条件」には `cons()` を， 「値そのものをコストにしたい量」には `abs()`・`relu()` を使ってください． ::: :::{container} prog-python PyQBPP では，絶対値 `qbpp.abs()`・ReLU `qbpp.relu()`・ 最大値 `qbpp.max()`・最小値 `qbpp.min()` を式の中で直接使えます． これらの関数を含む式は，Hi-QUBO にバンドルされているソルバーが 関数値を直接扱って効率よく探索を行います． 補助変数やペナルティ多項式を手動で設計する必要はありません． [ネイティブ整数変数](../advanced/native-integer.md)と組み合わせて使うこともできます． ## 絶対値: abs `qbpp.abs(f)` は $|f|$，`qbpp.abs(f, 2)` は $|f|^2$ を表します （指数は 1 か 2）．次のプログラムは $|x + y - 13| + |x - y - 3|$ を最小化します: ```{literalinclude} /../programFiles/pythonPrograms/advanced/basic-operators-and-functions-program1.py :language: python :caption: basic-operators-and-functions-program1.py ``` プログラムの出力は以下の通りです: ```{include} /../programFiles/markDown/advanced/basic-operators-and-functions.md :start-after: :end-before: ``` ## ReLU: relu `qbpp.relu(f)` は $\max(0, f)$，`qbpp.relu(f, 2)` は $\max(0, f)^2$ を表し，しきい値の**超過分だけ**にペナルティを かけたいときに便利です．次のプログラムは，利益 $4x + 7y$ を 最大化しつつ，作業量 $2x + 3y$ が 36 を超えた分に 2 乗ペナルティを かけ，さらに[ネイティブ制約](../basic/constraints.md) $x + y \le 12$ を 課しています: ```{literalinclude} /../programFiles/pythonPrograms/advanced/basic-operators-and-functions-program2.py :language: python :caption: basic-operators-and-functions-program2.py ``` プログラムの出力は以下の通りです: ```{include} /../programFiles/markDown/advanced/basic-operators-and-functions.md :start-after: :end-before: ``` ## 最大値と最小値: max / min `qbpp.max(f, g)`・`qbpp.min(f, g)` は 2 つの式の最大値・最小値を 表します．次のプログラムは，4 個のジョブを 2 台のマシンに割り当て， 負荷の大きい方（メイクスパン）を最小化します: ```{literalinclude} /../programFiles/pythonPrograms/advanced/basic-operators-and-functions-program3.py :language: python :caption: basic-operators-and-functions-program3.py ``` プログラムの出力は以下の通りです: ```{include} /../programFiles/markDown/advanced/basic-operators-and-functions.md :start-after: :end-before: ``` ## 対応と制限 - バンドルされているソルバー（[EasySolver](../solver/easy-solver-usage.md)・ [ABS3 Solver](../solver/abs3-solver-usage.md)・[Exhaustive Solver](../solver/exhaustive-solver-usage.md)）は `abs`・`relu`（指数 1, 2）・`max`・`min` のすべてに対応します． - MIP ソルバーでは，`GurobiSolver` が `abs`・`relu`（指数 1, 2）と `max`・`min` の凸方向（`w·max` の最小化・min の最大化）に対応します （係数は正のみ）．他の MIP ラッパーは非線形関数に対応していません． - 非線形関数の係数には任意の定数を使えます．負の係数は関数値を 最大化する向きに働きます．また，非線形関数を含む式は `expand_cons()`・`reduce()` には対応していません． - 解 `sol` に対する式の値 `f(sol)` は，ソルバーが返すエネルギーと 常に一致します． ## cons() との関係 [ネイティブ制約](../basic/constraints.md)の `qbpp.cons()` も，値の上では非線形関数の 仲間です．等式制約の値は $$ \operatorname{cons}(f = k) = \operatorname{abs}(f - k,\, 2) $$ と同じで，範囲制約の値は $$ \operatorname{cons}(l \le f \le u) = \operatorname{relu}(l - f,\, 2) + \operatorname{relu}(f - u,\, 2) $$ と同じです（違反するのは高々片側なので，2 つの relu が同時に正になる ことはありません）． 違いは意味論です．`cons()` は式を**制約として宣言**し，違反本数 （Viol）の集計や実行可能性・`target_energy` の判定に参加します． `abs()`・`relu()` は意味論を持たない純粋な目的関数の項で， 制約としては扱われません．「満たすべき条件」には `cons()` を， 「値そのものをコストにしたい量」には `abs()`・`relu()` を使ってください． :::