# ベクトルに対する基本演算子と関数

基本的に、ベクトルに対する演算子や関数は**要素ごと（element-wise）**に適用されます。

## ベクトルに対する基本演算子

基本演算子 `+`, `-`, `*`, `/` は、変数ベクトルおよび式ベクトルに対して使用できます。
:::{container} prog-cpp
QUBO++ では、これらの演算子は**各要素に対して個別に適用**されます。
:::
:::{container} prog-python
PyQBPP では、これらの演算子は**各要素に対して個別に適用**されます。
:::


## ベクトルとスカラーの演算

ベクトルとスカラーを組み合わせる場合、スカラーはベクトルの各要素に適用されます。

例えば、サイズ3のベクトル `x` に対して：

- `2 * x` は `{2*x[0], 2*x[1], 2*x[2]}` を生成します。  
- `x + 1` は `{x[0] + 1, x[1] + 1, x[2] + 1}` を生成します。  

次のプログラムは、この動作を示しています。

:::{container} prog-cpp
```{literalinclude} ../../programFiles/cppPrograms/advanced/vector-operators-and-functions-program1.cpp
:language: cpp
:caption: vector-operators-and-functions-program1.cpp
```
:::


:::{container} prog-python
```{literalinclude} ../../programFiles/pythonPrograms/advanced/vector-operators-and-functions-program1.py
:language: python
:caption: vector-operators-and-functions-program1.py
```
:::

このプログラムは、2値変数のベクトル `x = {x[0], x[1], x[2]}` を生成します。`2 * x` は各要素を2倍し、`+ 1` は各要素に1を加えるため、`f` は`{1 + 2*x[0], 1 + 2*x[1], 1 + 2*x[2]}`になります。
このプログラムの出力は次のとおりです。

```{include} ../../programFiles/markDown/advanced/vector-operators-and-functions-program.md
:start-after: <!-- begin: ベクトルとスカラーの演算 -->
:end-before: <!-- end: ベクトルとスカラーの演算 -->
```


## ベクトル同士の演算

同じサイズの2つのベクトルを組み合わせる場合、演算は各インデックスごとに要素単位で実行されます。

次の例では、サイズ3のベクトル `x` と `y` を使用しています。

:::{container} prog-cpp
```{literalinclude} ../../programFiles/cppPrograms/advanced/vector-operators-and-functions-program2.cpp
:language: cpp
:caption: vector-operators-and-functions-program2.cpp
```
:::

:::{container} prog-python
```{literalinclude} ../../programFiles/pythonPrograms/advanced/vector-operators-and-functions-program2.py
:language: python
:caption: vector-operators-and-functions-program2.py
```
:::

ここで

- `2 * x` は `{2*x[0], 2*x[1], 2*x[2]}` になります。  
- `3 * y` は `{3*y[0], 3*y[1], 3*y[2]}` になります。  
- それらの加算は要素ごとに行われるため、i 番目の要素は `2*x[i] + 3*y[i]` になります。  
- `+ 1` も再び要素ごとに適用されます。  

したがって、`f` は次のようになります。

`{1 + 2*x[0] + 3*y[0], 1 + 2*x[1] + 3*y[1], 1 + 2*x[2] + 3*y[2]}`

出力は次のとおりです。

```{include} ../../programFiles/markDown/advanced/vector-operators-and-functions-program.md
:start-after: <!-- begin: ベクトル同士の演算 -->
:end-before: <!-- end: ベクトル同士の演算 -->
```

ベクトル同士の演算では、**同じサイズである必要があります**。


## より複雑な要素ごとの演算例

次の例では、ベクトルとスカラーの演算、ベクトル同士の演算、単項マイナス、および括弧を含む、より複雑な式を示します。

:::{container} prog-cpp
```{literalinclude} ../../programFiles/cppPrograms/advanced/vector-operators-and-functions-program3.cpp
:language: cpp
:caption: vector-operators-and-functions-program3.cpp
```
:::

:::{container} prog-python
```{literalinclude} ../../programFiles/pythonPrograms/advanced/vector-operators-and-functions-program3.py
:language: python
:caption: vector-operators-and-functions-program3.py
```
:::

この例でも、すべての演算は要素ごとに適用されます。

- `x + 1` および `y - 1` は、それぞれ `{x[i] + 1}` と `{y[i] - 1}` を生成します。  
- 単項マイナス `-(x + 1)` も要素ごとに適用され、`{-(x[i] + 1)}` になります。  
- 乗算 `6 * -(x + 1) * (y - 1)` も要素ごとに実行されます。  

したがって、各インデックス i に対して：

```{include} ../../programFiles/markDown/advanced/vector-operators-and-functions-program.md
:start-after: <!-- begin: より複雑な要素ごとの演算例1 -->
:end-before: <!-- end: より複雑な要素ごとの演算例1 -->
```

これを展開すると：

```{include} ../../programFiles/markDown/advanced/vector-operators-and-functions-program.md
:start-after: <!-- begin: より複雑な要素ごとの演算例2 -->
:end-before: <!-- end: より複雑な要素ごとの演算例2 -->
```

最後に、`g = f / 3` は各要素を 3 で割るため、

```{include} ../../programFiles/markDown/advanced/vector-operators-and-functions-program.md
:start-after: <!-- begin: より複雑な要素ごとの演算例3 -->
:end-before: <!-- end: より複雑な要素ごとの演算例3 -->
```

となります。

出力は次のとおりです。

```{include} ../../programFiles/markDown/advanced/vector-operators-and-functions-program.md
:start-after: <!-- begin: より複雑な要素ごとの演算例4 -->
:end-before: <!-- end: より複雑な要素ごとの演算例4 -->
```

## ベクトルに対する複合演算子

`+=`, `-=`, `*=`, `/=` といった複合演算子も、変数ベクトルおよび式ベクトルに対して使用できます。  
これらの演算も **要素ごと（element-wise）** に適用されます。

次の例は、サイズ3のベクトルに対する複合演算子の動作を示しています。

:::{container} prog-cpp
```{literalinclude} ../../programFiles/cppPrograms/advanced/vector-operators-and-functions-program4.cpp
:language: cpp
:caption: vector-operators-and-functions-program4.cpp
```
:::

:::{container} prog-python
```{literalinclude} ../../programFiles/pythonPrograms/advanced/vector-operators-and-functions-program4.py
:language: python
:caption: vector-operators-and-functions-program4.py
```
:::

このプログラムは次の出力を生成します。

```{include} ../../programFiles/markDown/advanced/vector-operators-and-functions-program.md
:start-after: <!-- begin: ベクトルに対する複合演算子 -->
:end-before: <!-- end: ベクトルに対する複合演算子 -->
```


## ベクトルに対する square 関数

`sqr` 関数もベクトルに対して使用できます。  
こちらも各要素ごとに二乗が計算されます。

:::{container} prog-cpp
```{literalinclude} ../../programFiles/cppPrograms/advanced/vector-operators-and-functions-program5.cpp
:language: cpp
:caption: vector-operators-and-functions-program5.cpp
```
:::

:::{container} prog-python
```{literalinclude} ../../programFiles/pythonPrograms/advanced/vector-operators-and-functions-program5.py
:language: python
:caption: vector-operators-and-functions-program5.py
```
:::

このプログラムは次の出力を生成します。

```{include} ../../programFiles/markDown/advanced/vector-operators-and-functions-program.md
:start-after: <!-- begin: ベクトルに対する square 関数 -->
:end-before: <!-- end: ベクトルに対する square 関数 -->
```


## ベクトルに対する simplify 関数

`simplify` 関数もベクトルに対して利用可能で、各要素がそれぞれ簡約されます。

:::{container} prog-cpp
```{literalinclude} ../../programFiles/cppPrograms/advanced/vector-operators-and-functions-program6.cpp
:language: cpp
:caption: vector-operators-and-functions-program6.cpp
```
:::

:::{container} prog-python
```{literalinclude} ../../programFiles/pythonPrograms/advanced/vector-operators-and-functions-program6.py
:language: python
:caption: vector-operators-and-functions-program6.py
```
:::

このプログラムは次の出力を生成します。

```{include} ../../programFiles/markDown/advanced/vector-operators-and-functions-program.md
:start-after: <!-- begin: ベクトルに対する simplify 関数 -->
:end-before: <!-- end: ベクトルに対する simplify 関数 -->
```


**NOTE:**  
これらの演算子および関数は、多次元配列に対しても同様に動作します。